Question

17．已知：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴交于点A，点B，点O关于直线AB的对称点为点O′，且点O′恰好在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上．
（1）求点A与B的坐标；
（2）求k的值；
（3）若y轴正半轴有点P，过点P作x轴的平行线，且与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点Q，设A、P、Q、O′四个点所围成的四边形的面积为S．若S=$\frac{3}{2}$S_△OAB时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别令直线y=-x+3中的x=0，y=0即可求得A、B两点的坐标；
（2）根据对称点的性质即可；
（3）分两种情况：①当点P在点B的上方时，即：m＞3，延长AO′于PQ相交于点M，设P（0，m），由面积关系可求；②当点P在点B的上方时，即：0＜m＜3，方法同上．

解答 解：（1）A（3，0），B（0，3）
      （2）如图①

            图①
∵点O与O′关于直线AB对称，
∴由题意可得四边形OAO′B为正方形，
∴O′（3，3）
则 k=3×3=9
即：k的值为9
（3）设P（0，m），显然，点P与点B不重合
①当点P在点B的上方时，即：m＞3，
延长AO′于PQ相交于点M，如图②所示：

则：Q（$\frac{9}{m}$，m），M（3，m）
∴PM=3，AM=m，MO′=m-3，QM=3-$\frac{9}{m}$，
∴S=S_△PMA-S_△QMO′=$\frac{3}{2}{S}_{△OAB}$=$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{4}$
∴$\frac{3}{2}m$-$\frac{1}{2}$（3-m）（m+3）=$\frac{27}{4}$，
解之得：m=6
②当点P在点B的上方时，即：0＜m＜3，如图③所示：

显然，PQ⊥AO′，
∴S=$\frac{1}{2}$•PQ•AO′=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{m}$=$\frac{27}{4}$，
∴m=2
∴P（0，2）或（0，6）

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解函数图象与坐标轴的交点的实质、对称点的性质及综合分析问题的能力．