Question

12．已知如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，若点B、E、F在同一直线上，求∠EAB的度数．

Answer 1

分析 连接BD与AC相交于O，过点E作EH⊥AC于H，可得四边形OBEH是矩形，根据矩形的对边相等可得EH=OB，再根据菱形的四条边都相等可得BD=AE，然后求出EH=$\frac{1}{2}$AE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠HAE=30°，根据正方形性质求出∠CAB，即可求出答案．

解答 解：如图，连接BD与AC相交于O，过点E作EH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是正方形，四边形ACFE是菱形，
∴AC⊥BD，AC∥BF，
∴四边形OBEH是矩形，
∴EH=OB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
∵四边形ACFE是菱形，
∴AC=AE，
∴EH=$\frac{1}{2}$AE，
∴∠HAE=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，
∴∠EAB=∠CAB-∠HAE=15°．

点评 本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出矩形的和含30°角的直角三角形是解题的关键．