Question

7．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则$\frac{EG}{AB}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 连接AC、EF，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD，然后判断出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°，设EF与BD相交于点H，AB=4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH，再求出DH，从而得到GH，利用勾股定理列式求出EG，最后求出比值即可．

解答 解：如图，连接AC、EF，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵BE⊥AD，AE=DE，
∴AB=BD，
又∵菱形的边AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
设EF与BD相交于点H，AB=4x，
∵AE=DE，
∴由菱形的对称性，CF=DF，
∴EF是△ACD的中位线，
∴DH=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{1}{4}$BD=x，
在Rt△EDH中，EH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$x，
∵DG=BD，
∴GH=BD+DH=4x+x=5x，
在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG=$\sqrt{E{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+（5x）^{2}}$=2$\sqrt{7}$x，
所以，$\frac{EG}{AB}$=$\frac{2\sqrt{7}x}{4x}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线．