Question

【题目】如图，为⊙的直径，点是半径上一个动点（不与点重合），为⊙的半径，⊙的弦与⊙相切于点，的延长线交⊙于点．

（1）设，则与之间的数量关系是什么？请说明理由．

（2）若，点关于的对称点为，连接．

①当 时，四边形是菱形；

②当 时，点是弦的中点．

Answer 1

【答案】（1），理由见解析；（2）①；②1

【解析】

（1）由切线的性质得90°，再利用三角形内角和推导两个角之间的关系；

（2）①由菱形得对角线互相垂直平分，构造出两个相似的三角形，再利用对应边成比例解方程即可；②由直径得垂直，由中点和垂直得垂直平分线，再利用圆的性质从而证得点O与点H重合即可．

证明：（1）2α-β=90°．

理由：连接PC．

∵BD是⊙P的切线，

∴α+∠2=∠1=90°．

∴∠3+β=90°．

∵PA=PC，

∴∠A=∠2．

∵∠3是△APC的外角，

∴∠3=∠A+∠2=2∠2=2（90°-α）．

∴2（90°-α）+ β= 90°．

整理，得2α-β=90°．

（2）①；

连接PC，

⊙的弦与⊙相切于点

若四边形是菱形

则，垂足为G，且

在△CGP和△BPC中，

，

设，则，

，即

解得

当时，四边形是菱形；

②1．

连接CH、EH

则

即

又点是弦的中点

故CH是弦AE的垂直平分线

又圆心O在弦AE的垂直平分线上

点O与点H重合