Question

在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，AC⊥AB，
（1）求证：△ADC∽△CAB；
（2）若AD=4，BC=9，求sinB．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质可以证得两个三角形的两个对应角相等，即可得到三角形相似；
（2）根据相似三角形的对应边的比值相等，可求得AC的长度，然后根据三角函数的定义即可求出sinB的值．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠D+∠DCB=180°，∠DAC=∠ACB，
∴∠D=180°-∠DCB=90°，
∴∠D=∠BAC，
∴△ADC∽△CAB；

（2）解：∵△ADC∽△CAB，
∴

AC

BC

=

AD

AC

，即

AC

9

=

4

AC

，
解得：AC=6，
∴sinB=

AC

BC

=

6

9

=

2

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义，正确证明两个三角形相似是关键．