Question

如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别是BC、CD边上的点，
（1）若CE=CB，CF=CD，则图中阴影部分的面积是______；
（2）若CE=CB，CF=CD，则图中阴影部分的面积是______（用含n的式子表示，n是正整数）．

Answer 1

解：（1）设BF与DE交于点M，过点M作MN⊥CD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，AD∥BC，BC=CD=AB=1，
∴AD∥MN∥BC，
∴△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，
∴，，
∵CE=CB=，CF=CD=，
∴CE=CD，CF=BC，
∴=2，=2，
设MN=x，FN=y，
∴=2，=2，
解得：x=，
∴MN=，
∴S_△BCF=BC•CF=×1×=，S_△DFM=DF•MN=××=，S_{正方形ABCD}=1，
∴S_阴影=1--=；

（2）设BF与DE交于点M，过点M作MN⊥CD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，AD∥BC，BC=CD=AB=1，
∴AD∥MN∥BC，
∴△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，
∴，，
∵CE=CB=，CF=CD=，
∴CE=CD，CF=BC，
∴=n，=n，
设MN=x，FN=y，
∴=n，=n，
解得：x=，
∴MN=，
∴S_△BCF=BC•CF=×1×=，S_△DFM=DF•MN=×（1-）×=，S_{正方形ABCD}=1，
∴S_阴影=1--=．
故答案为：，．
分析：（1）首先设BF与DE交于点M，过点M作MN⊥CD于N，由四边形ABCD是正方形，易证得△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，由相似三角形的对应边成比例可得，，又由CE=CB，CF=CD，设MN=x，FN=y，即可得=2，=2，继而求得MN的长，则可求得△BCF和△DMF的面积，继而求得图中阴影部分的面积；
（2）首先设BF与DE交于点M，过点M作MN⊥CD于N，由四边形ABCD是正方形，易证得△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，由相似三角形的对应边成比例可得，，又由CE=CB，CF=CD，设MN=x，FN=y，即可得=n，=n，继而求得MN的长，则可求得△BCF和△DMF的面积，继而求得图中阴影部分的面积．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．