Question

【题目】如图，抛物线与x轴交两点A（﹣1，0），B（3，0），过点A作直线AC与抛物线交于C点，它的坐标为（2，﹣3）．

（1）求抛物线及直线AC的解析式；

（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A，C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，点E与点A、C围成三角形，求出△ACE面积的最大值；

（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1；（2）S△ACE=；（3）存在4个符合条件的F点．

【解析】

（1）将A、B坐标代入y=x2+bx+c，利用待定系数法可求得二次函数解析式，设直线AC的解析式为：y=mx+n，将A、C坐标代入，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；

（2）设点P的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），由S△ACE=PE|xC﹣xA|，而|xC﹣xA|的值是确定的，因此只要求得PE的最大值即可；

（3）分CG与AF平行、CF与AG平行，分别画出符合题意的图形，分别进行求解即可得.

（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，

得，解得：，

∴y=x2﹣2x﹣3，

设直线AC的解析式为：y=mx+n，

将A、C坐标代入得

，解得：，

∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1；

（2）设点P的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），

∵点P在点E的上方，

∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，

∴当x=时，PE的最大值为，

∴S△ACE=PE|xC﹣xA|=××3=；

（3）①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，

∵C（2，﹣3），G（0，﹣3）

∴CG∥X轴，此时AF=CG=2，

∴F点的坐标是（﹣3，0）；

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+4+．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；

④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）；

综合四种情况可得出，存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．