Question

如图，已知∠OA₁A₂=∠OA₂A₃=∠OA₃A₄=∠OA₄A₅=…=90°，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅=…=1，S₁表示△OA₁A₂的面积，S₂表示△OA₂A₃的面积，…，
细心观察图形，解答下列问题：
（1）0A₂=

 

，0A₃=

 

，S₁=

 

，S₂=

 

；
（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示：OA_n=

 

；
（3）求出S₁²+S₂²+S₃²+…S₁₀²的值．

Answer 1

分析：此题为勾股定理的运用，但分析可知，其内部存在一定的规律性，找出其内在规律即可解题，因为∠OA₁A₂=∠OA₂A₃=∠OA₃A₄=∠OA₄A₅=…=90°，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅=…=1，
即每个三角形最外的那条直角边均为1，则由图可得出OA_n=

n

，S_n=

n

2

，
分析到此，即可解题．

解答：解：（1）

2

；

3

；

1

2

；

2

2

；各（1分），共（4分）
（2）由题意可知，OA₁=

1

，OA₂=

2

，OA₃=

3

，…，所以OA_n=

n

；（2分）
（3）原式=

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

4

=

55

4

．（2分）

点评：此题主要考查的是勾股定理的运用以及规律的探查．