题目内容
【题目】（知识背景）我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
（应用举例）
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾为3时，股
，弦
；
当勾为5时，股
，弦
；
当勾为7时，股
，弦
．
请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾用
，且
为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股
，弦 ．
（问题解决）
（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果
，
，
为大于1的整数），则
、
、
为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；
（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用
为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少．
【答案】（1）
，
；（2）证明见解析；（3）
；
．
【解析】
（1）如果勾用
，且
为奇数）表示时，则股
，弦
；
（2）根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案；
（3）根据弦与股的差为1和勾股数的定义即可得出答案．
解：（1）如果勾用，且为奇数）表示时，则股，弦；
故答案为：，；
（2）
，
，
表示大于1的整数）
，
、
、
为勾股数；
（3）
弦与股的差为1，
为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，
另外两个数的表达式分别是；．
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