题目内容
如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90?，AD=10，CD=4，BC=6，E是BC的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设动点P运动的时间为t秒．
（1）求线段AB的长；
（2）当△PBE与△DCE相似时，求t的值；
（3）如图2，连接PD，以PD所在直线为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，若点C′落在线段AD上，则t的值为
（1）求线段AB的长；
（2）当△PBE与△DCE相似时，求t的值；
（3）如图2，连接PD，以PD所在直线为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，若点C′落在线段AD上，则t的值为
10
10
（直接写出答案即可）．
分析：（1）作DF⊥AB于F，根据已知条件可以得出四边形BCDF是矩形就可以得出BF=CD，再由勾股定理求出AF的值就可以得出结论；
（2）从△PBE∽△DCE和△PBE∽△ECD两种情况进行讨论根据相似三角形的性质就可以得出结论求出t的值；
（3）如图4，根据轴对称的性质先求出AC′的值，再由三角函数值求出GC′，AG的值，再证明△AC′G∽△PB′G，由相似三角形的性质就可以求出PG的值，从而求出AP的值就可以求出t的值．
（2）从△PBE∽△DCE和△PBE∽△ECD两种情况进行讨论根据相似三角形的性质就可以得出结论求出t的值；
（3）如图4，根据轴对称的性质先求出AC′的值，再由三角函数值求出GC′，AG的值，再证明△AC′G∽△PB′G，由相似三角形的性质就可以求出PG的值，从而求出AP的值就可以求出t的值．
解答：解：（1）如图1，作DF⊥AB于F，
∴∠AFD=∠BFD=90°．
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDF是矩形，
∴BF=CD，DF=BC．
∵CD=4，BC=6，
∴BF=4，DF=6．
在Rt△AFD中，由勾股定理，得
AF=
=8．
∴AB=4+8=12．
（2）如图2，当P运动t秒时，△PBE∽△DCE
∴
=
．
∵AP=t，
∴BP=12-t．
∵E是BC的中点，
∴CE=BE=3．
∴
=
，
∴t=8；
如图3，当P运动t秒时，△PBE∽△ECD，
∴
=
∴
=
，
∴t=
．
∴t的值为8或
；
（3）如图4，作CB关于PD的轴对称图形C′B′交AB于点G，连接PB′，
∴∠DC′B′=∠C=90°，∠B′=∠B=90°，C′D=CD=4，PB′=PB．
∴AC′=6，
如图1，在Rt△AFD中，AD=10，DF=6，AF=8，
tan∠A=
，cos∠A=
．
在Rt△AC′G中，
tan∠A=
=
，
∴
=
，
∴GC′=
，
cos∠A=
=
，
∴
=
，
∴AG=
，
∴GP=t-
，PB=PB′=12-t，
∵△AC′G∽△PB′G，
∴
=
，
∴
=
，
∴t=10．
故答案为：10．
∴∠AFD=∠BFD=90°．
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDF是矩形，
∴BF=CD，DF=BC．
∵CD=4，BC=6，
∴BF=4，DF=6．
在Rt△AFD中，由勾股定理，得
AF=
| 100-36 |
∴AB=4+8=12．
（2）如图2，当P运动t秒时，△PBE∽△DCE
∴
| PB |
| DC |
| BE |
| CE |
∵AP=t，
∴BP=12-t．
∵E是BC的中点，
∴CE=BE=3．
∴
| 12-t |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
∴t=8；
如图3，当P运动t秒时，△PBE∽△ECD，
∴
| PB |
| EC |
| BE |
| CD |
∴
| 12-t |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
∴t=
| 39 |
| 4 |
∴t的值为8或
| 39 |
| 4 |
（3）如图4，作CB关于PD的轴对称图形C′B′交AB于点G，连接PB′，
∴∠DC′B′=∠C=90°，∠B′=∠B=90°，C′D=CD=4，PB′=PB．
∴AC′=6，
如图1，在Rt△AFD中，AD=10，DF=6，AF=8，
tan∠A=
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
在Rt△AC′G中，
tan∠A=
| GC′ |
| AC′ |
| 3 |
| 4 |
∴
| GC′ |
| 6 |
| 3 |
| 4 |
∴GC′=
| 9 |
| 2 |
cos∠A=
| AC′ |
| AG |
| 4 |
| 5 |
∴
| 6 |
| AG |
| 4 |
| 5 |
∴AG=
| 15 |
| 2 |
∴GP=t-
| 15 |
| 2 |
∵△AC′G∽△PB′G，
∴
| AG |
| PG |
| AC′ |
| PB′ |
∴
| ||
t-
|
| 6 |
| 12-t |
∴t=10．
故答案为：10．
点评：本题考查了直角梯形的性质，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，在解答时证明三角形相似是关键，运用三角形相似的性质求线段的长是重点．
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| ||
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|
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