Question

【题目】已知一元二次方程的一根为．

求关于的函数关系式；

求证：抛物线与轴有两个交点；

设抛物线与轴交于、两点（、不重合），且以为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求，的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或．

【解析】

（1）把x=2直接代入一元二次方程x2+px+q+1=0中即可得到q关于p的函数关系式；
（2）利用（1）的结论证明抛物线y=x2+px+q的判别式是正数就可以了；
（3）首先求出方程x2+px+q+1=0的两根，然后用p表示AB的长度，表示抛物线顶点坐标，再利用以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点可以得到关于p的方程，解方程即可求出p．

解：由题意得，即；

证明：∵一元二次方程的判别式，

由得，

∴一元二次方程有两个不相等的实根，

∴抛物线与轴有两个交点；

解：由题意，，

解此方程得，，

∴或，

∵的顶点坐标是．

以为直径的圆经过顶点，或．

解得或，

∴或．