Question

16．设k为常数，已知直线l：y=kx-k+2，过点P（-1，0）作直线l的垂线，垂足为H，点A（3，-3），连接AH，则AH长度的最大值为5+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由y=kx-k+2=（x-1）k+2可知直线过定点Q（1，2），根据题意垂足H在以直径PQ为直径的圆上，圆心为PQ的中点C（0，1），AH长度的最大值为AC+r．

解答 解：由y=kx-k+2=（x-1）k+2可知直线过定点Q（1，2），
∴垂足H在以直径PQ为直径的圆上，圆心为PQ的中点C（0，1），
∴其圆的方程为x²+（y-1）²=2，
|PC|=$\sqrt{{3}^{2}+（-3-1）^{2}}$=5，
∴AH长度的最大值为5+$\sqrt{2}$，
故答案为5+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了两条直线相交问题，二次函数的最值，求得圆心的坐标是解题的关键．