Question

已知：如图，AB=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交OC于点D，AD的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F．下列结论：①CD²=CE•CB；②4EF²=ED•EA；③∠OCB=∠EAB；④DF=

1

2

CD．其中正确的结论有

①②④

．

Answer 1

分析：先连接BD，利用相似三角形的判定以及切线的性质定理得出DF=FB，进而分别得出△CDE∽△CBD以及△CDF∽△CBO，再根据相似三角形的性质分别分析即可得出答案．

解答：解：①连接BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBE+∠3=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠1+∠DBE=90°，
∴∠1=∠3，
又∵DO=BO，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠CDB=∠CED，
∵∠DCB=∠ECD，
∴△CDE∽△CBD，
∴CD²=CE•CB，故①CD²=CE•CB正确；

②∵过D作⊙O的切线交BC于点F，
∴FD是⊙O的切线，
∵∠ABC=90°，
∴CB是⊙O的切线，
∴FB=DF，
∴∠FDB=∠FBD，
∴∠1=∠FDE，
∴∠FDE=∠3，
∴DF=EF，
∴EF=FB，
∴EB=2EF，
∵在Rt△ABE中，BD⊥AE，
∴EB²=ED•EA，
∴4EF²=ED•EA，故②4EF²=ED•EA正确；

③∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ADO，
假设③∠OCB=∠EAB成立，
则∠OCB=

1

2

∠COB，
∴∠OCB=30°，
而

BO

BC

=

BO

AB

=

1

2

，与tan30°=

3

3

矛盾，
故③∠OCB=∠EAB不成立，故此选项错误；

④∵∠CDF=∠CBO=90°，
∠DCF=∠OCB，
∴△CDF∽△CBO，
∴

DF

BO

=

CD

BC

，
∴

DF

CD

=

BO

CB

，
∵AB=BC，
∴

DF

CD

=

BO

CB

=

1

2

，
∴DF=

1

2

CD；故④DF=

1

2

CD正确．
综上正确的有①、②、④．
故答案为：①②④．

点评：此题主要考查了圆的切线性质与判定、圆周角定理性质及三角形相似的判定等知识，熟练根据相似三角形的性质得出对应边之间关系是解题关键．