Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，过点C（2，2）作x轴垂线，垂足为D，连BC．现有动点P、Q同时从A点出发，分别沿AB、AD向点B和点D运动（P、Q两点中有一点到达目标点，两者的运动随即停止），若点P的运动速度为cm/s，点Q的运动速度为2cm/s．设运动的时间为ts．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当CQ∥AB时，求t的值；
（3）是否存在这样的时刻t，使△CPQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=0，y=0分别代入函数解析式，求出即可；
（2）根据平行四边形的性质得出BC=2=AQ，即可求出答案；
（3）根据勾股定理分别求出CP、PQ、CQ的平方，分为三种情况：当CP=CQ时，当PQ=CQ时，当CP=PQ时，代入求出即可．
解答：（1）解：∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴当x=0时，y=2，
当y=0时，x=-2，
∴A（-2，0），B（0，2）；

（2）解：∵B（0，@），C（2，2），
∴BC=2，BC∥AD，
∵CQ∥AB，
∴四边形BCQA是平行四边形，
∴AQ=BC=2，
∴t=2÷2=1；

（3）解：存在，
理由是：如图1，过P作EF⊥AD，交AD于F，交直线CB于E，
∵∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴∠BAD=45°，
∵PF⊥AD，
∴∠PFA=90°，
∴∠BAD=∠FPA=45°，
∵AP=t，
∴AP=PF=t，
∵AQ=2t，
∴QF=t，
在Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ²=t²+t²，
在Rt△DCQ中，由勾股定理得：CQ²=2²+（2+2-2t）²，
∵BC∥AD，
∴∠BAD=45°=∠EBP，
∵∠E=90°，
∴∠EBP=∠EPB=45°，
∴EP=EB=2-2t，
在Rt△PEC中，由勾股定理得：CP²=（2-2t）²+（2-2t+2）²，
分为三种情况：①如图2，当CQ=PQ时，2t²=2²+（2+2-2t）²，
t=4+（比AD的值大，舍去），t=4-；
②如图2，

当CP=CQ时，（2+2-2t）²+（2-2t）²=2²+（4-2t）²，
t=0（舍去），t=2（；
③如图3，

当CP=PQ时，FQ=AD-AF-DQ=4-t-（4-2t）=t，PF=t，EP=EB=OF=2-t，CE=2+2-t，
由勾股定理得：（2-t）²+（2+2-t）²=t²+t²，
t=，
即存在这样的时刻t，使△CPQ为等腰三角形，t的值是2s或s或（4-）s．
点评：本题考查了正方形性质，函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质和判定，勾股定理的应用，用了分类讨论思想．