Question

如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B，点C（1，a）是直线与双曲线y=

m

x

的一个交点，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，且△BCD的面积为1．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若在y轴上有一点E，使得以E、A、B为顶点的三角形与△BCD相似，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）直线y=kx+2与y轴交于B点，则OB=2；由C（1，a）及△BCD的面积为1可得BD=2，所以a=4，即C（1，4），分别代入两个函数关系式中求解析式；
（2）根据△BAE∽△BCD、△BEA∽△BCD两种情形求解．

解答：解：（1）∵CD=1，△BCD的面积为1，
∴BD=2
∵直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴当x=0时，y=2，
∴点B坐标为（0，2）．
∴点D坐标为（O，4），
∴a=4．
∴C（1，4）
∴所求的双曲线解析式为y=

4

x

．

（2）因为直线y=kx+2过C点，
所以有4=k+2，k=2，
直线解析式为y=2x+2．
∴点A坐标为（-1，0），B（0，2），
∴AB=

5

，BC=

5

，
当△BAE∽△BCD时，此时点E与点O重合，点E坐标为（O，0）；
当△BEA∽△BCD时，

AB

DB

=

BE

BC

，
∴

5

2

=

BE

5

，
∴BE=

5

2

，
∴OE=

1

2

，
此时点E坐标为（0，-

1

2

）．
综上：当E为（0.0）或（0．-

1

2

）时△EAB与△BCD相似．

点评：本题考查了反比例函数的综合应用，关键是求交点C的坐标以及相似形中的分类讨论思想，搞清楚对应关系．