Question

如图，在正方形ABCD中，已知CE⊥DF于H．
（1）求证：△BCE≌△CDF；
（2）若AB=6，BE=2，求HF的长．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质可得BC=CD，∠B=∠BCD=90°，利用直角三角形中两个锐角互余以及垂直的定义证明∠BEC=∠CFD即可证明：△BCE≌△CDF；
（2）由（1）可知：△BCE≌△CDF，所以CF=BE=2，由相似三角形的判定方法可知：△BCE∽HCF，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出HF的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠BCD=90°，
∵CE⊥DF于H，
∴∠BCE+∠CFH=90°，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠CFD，
在△BCE和△CDF中

∠B=∠BCD ∠BEC=∠CFD BC=CD

，
∴△BCE≌△CDF（AAS）；

（2）解：∵△BCE≌△CDF，
∴CF=BE=2，
∵∠B=∠CHF=90°，∠BCE=∠HCF，
∴△BCE∽△HCF，
∴

BE

HF

=

CE

CF

，
∴HF=

BC•CF

CE

=

10

5

．

点评：本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强，但难度不大．