Question

如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，-2）.

（1)求此函数的关系式；

（2)作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

1）∵的顶点为C（1，-2），

∴，．   ————————————————2

2）设直线PE对应的函数关系式为．由题意，四边形ACBD是菱形.

    故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M． ————————————————1

    由P(0，-1)，M（1，0），得．从而，  ————————2

    设E(，)，代入，得．

 解之得，，根据题意，得点E(3，2)      —————————2

3）假设存在这样的点F，可设F(，)．过点F作FG⊥轴，垂足为点G.

在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，

∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP.

∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．

解得，，根据题意，得F(1，-2)．

故点F(1，-2)即为所求．          ——————————————————3

．     ————————2