题目内容

若G是△ABC的重心，GP∥BC交AB于点P，BC=3 $数学公式$ ，则GP等于________．

$\text{[math]}$
分析：设AG的延长线交BC于D，由三角形重心的性质知：BD= $\text{[math]}$ BC，且AG：AD=2：3；进而可由△APG∽△ABD得到的成比例线段求得GP的长．
解答：如图；G是△ABC的重心，PG∥BC；

∵G是△ABC的重心，
∴BD=DC= $\text{[math]}$ ，AG=2GD，即AG：GD=2：3；
∵PG∥BC，
∴△APG∽△ABD
∴PG：BD=AG：GD=2：3，即PG= $\text{[math]}$ BD= $\text{[math]}$ ．
点评：此题主要考查的是三角形的重心及相似三角形的判定和性质；需注意的是三角形的重心是三条中线的交点，不要混淆概念．

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若G是△ABC的重心，GP∥BC交AB于点P，BC=3

在直角坐标系中，已知点A（0，

）、B（3，0），以AB为一边作等边△ABC，且点C在第一象限．则点C的坐标是

，若G是△ABC的重心，则G的坐标是

（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：

；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足

，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S_{四边形BCHG}，S_△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究

的最大值．

如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且

，∠BAD=∠ECA．
（1）求证：AC²=BC•CD；
（2）若E是△ABC的重心，求AC²：AD²的值．

（2013年四川绵阳14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；

（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S_四边形_BCHG，S_△_AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．