题目内容
如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且| AB |
| AC |
| AD |
| CE |
（1）求证：AC2=BC•CD；
（2）若E是△ABC的重心，求AC2：AD2的值．
分析：（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）利用重心的性质得出BC=2BD=2CD，AE=
AD，进而得出△BAD∽△ACE，即可得出线段之间关系求出即可．
（2）利用重心的性质得出BC=2BD=2CD，AE=
| 2 |
| 3 |
解答：（1）证明：∵
=
，∠BAD=∠ECA，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴
=
，
∴AC2=BC•CD．
（2）解：∵△BAD∽△ACE，
∴∠BDA=∠AEC，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵E是△ABC的重心，
∴BC=2BD=2CD，AE=
AD，
∴AC2=BC•CD=2CD2，
∵△BAD∽△ACE，
∴
=
，
∴
AD2=BD•CE，
∴AD2=
CD2，
∴
=
．
| AB |
| AC |
| AD |
| CE |
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴
| AC |
| CD |
| BC |
| AC |
∴AC2=BC•CD．
（2）解：∵△BAD∽△ACE，
∴∠BDA=∠AEC，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵E是△ABC的重心，
∴BC=2BD=2CD，AE=
| 2 |
| 3 |
∴AC2=BC•CD=2CD2，
∵△BAD∽△ACE，
∴
| AD |
| CE |
| BD |
| AE |
∴
| 2 |
| 3 |
∴AD2=
| 3 |
| 2 |
∴
| AC2 |
| AD2 |
| 4 |
| 3 |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出△BAD∽△ACE是解题关键．
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