Question

已知，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连AD，且AD+BC=CD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，作辅助线，证明△AOD≌△EOD，进而得到∠DAO=∠DEO=90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线，证明△AEF∽△COF，进而证明CF：AF=OF：EF=3：2，根据勾股定理，结合其他知识即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接OD；
∵BC⊥AB，且AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；而DC是⊙O的切线，
∴CB=CE；DC⊥OE；
∵AD+BC=CD，
∴AD=ED；在△AOD与△EOD中，

AD=ED OD=OD OA=OE

，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠DAO=∠DEO=90°，
∴AD是⊙O的切线．
（2）如图，连接AE、OC；
∵CB、CE均为⊙O的切线，
∴∠ECO=∠BCO，BC=EC（设为μ）；
∴∠EOC=∠BOC=

180°-∠AOE

2

；
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=

180°-∠AOE

2

，
∴∠OEA=∠EOC，
∴AE∥OC，△AEF∽△COF，
∴CF：AF=OF：EF=3：2，
设CF=3λ，则AF=2λ，AC=5λ；
由勾股定理得：CF²=2²+μ²，AC²=10²+μ²，
∴(

3λ

5λ

)2=

μ2+4

μ2+100

，
解得μ=5

2

，
即线段BC的长为5

2

．

点评：该题主要考查了切线的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合运用能力提出了较高的要求．