Question

如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F，G，连接AF并延长交△BGF的外接圆于H，连接GH，BH．
（1）求证：△DFA∽△HBG；
（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE=3

3

，CF：FB=1：2，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质和圆周角定理的推论可以证明三角形中的两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到AB和BG的比，再根据切割线定理列方程求解；
（3）根据勾股定理以及上述结论求得有关的边没再根据90°的圆周角所对的弦是直径，发现FG是直径，根据圆周角定理的推论把要求的角转换到直角三角形中，根据锐角三角函数的概念求解．

解答：证明：（1）∵∠HBG=∠HFG，∠HFG=∠AFD，
∴∠HBG=∠AFD．
∵∠BHG=∠BFG=∠CFD=∠ADG，
∴△DFA∽△HBG．（4分）

（2）∵CD∥AB，CD=AB，
∴

AB

BG

=

1

2

，

AB

AG

=

1

3

．
即AG=3AB．
∵AE为⊙O的切线，
∴AE²=AB•AG．
∴AB=3．（8分）

（3）∵AD=BC=6，CF：FB=1：2，
∴CF=2，BF=4．
∵∠ABC=90°，
∴AF=

AB2+BF2

=5．
∵AE²=AF•AH，
∴AH=

AE2

AF

=

27

5

FH=AH-AF=

2

5

．
∴FH=AH-AF=

2

5

．
∵∠FBG=90°，FG=2

13

，
∵FG为圆的直径，
∴HG=

FG2-FH2

=

36

5

．
∴tan∠HBG=18．（12分）

点评：综合运用了圆周角定理的推论、相似三角形的判定、平行线分线段成比例定理以及勾股定理和锐角三角函数的概念．