Question

12．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，⊙O的切线PA交CB的延长线于点P，OE∥AC交AB于点F，交PA于点E，连接BE．
（1）判断BE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为8，BE=6，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）结论：BE是⊙O的切线．首先证明∠OAP=90°，再证明△EOB≌△EOA，推出∠OBE=∠OAE即可解决问题．
（2）由（1）可知AB=2BF，在Rt△BEO中，∠OBE=90°，OB=8，BE=6，可得OE=$\sqrt{B{E}^{2}+O{B}^{2}}$=10，由$\frac{1}{2}$•BE•OB=$\frac{1}{2}$•OE•BF，可得BF=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{12}{5}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）BE是⊙O的切线．
理由：如图连接OA．

∵PA是切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∵OE∥AC，
∴∠OFB=∠BAC=90°，
∴OE⊥AB，
∴BF=FA，
∵OB=OA，
∴∠EOB=∠EOA，
在△EOB和△EOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EO=OA}\\{∠EOB=∠EOA}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△EOB≌△EOA，
∴∠OBE=∠OAE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线．

（2）由（1）可知AB=2BF，
在Rt△BEO中，∵∠OBE=90°，OB=8，BE=6，
∴OE=$\sqrt{B{E}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$•BE•OB=$\frac{1}{2}$•OE•BF，
∴BF=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{12}{5}$，
∴AB=2BF=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查切线的性质、垂径定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型．