如图.小河上有一拱桥.拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE.ED.DB组成.已知河底ED是水平的.ED=16米.AE=8米.抛物线的顶点C到ED的距离是11米.以ED所在的直线为x轴.抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)根据题意.填空:①顶点C的坐标为,②B点的坐标为(8.8),(2)求抛物线的解析式,(3)已知从某时刻开始� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
（1）根据题意，填空：
①顶点C的坐标为（0，11）；
②B点的坐标为（8，8）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=-$\frac{1}{128}$（t-19）²+8（0≤t≤40），且当点C到水面的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

分析（1）求出OC、OD、BD的长即可解决问题．
（2）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；
（3）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．

解答解：（1）由题意OC=11，OD=8，BD=AE=8，
∴C（0，11），B（8，8），
故答案为（0，11）和（8，8）．

（2）∵点C到ED的距离是11米，
∴OC=11，
设抛物线的解析式为y=ax²+11，由题意得B（8，8），
∴64a+11=8，
解得a=-$\frac{3}{64}$，
∴y=-$\frac{3}{64}$x²+11；

（3）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为11-5=6（米），
∴6=-$\frac{1}{128}$（t-19）²+8，
∴（t-19）²=256，
∴t-19=±16，
解得t₁=35，t₂=3，
∴35-3=32（小时）．
答：需32小时禁止船只通行．