Question

已知直线l∥BC，点A在l上，AD平分∠BAC，CD⊥AD，记∠ACD=∠1，∠BCD=∠2．
（1）当点A沿着直线l向左移动时，D点有可能落在平面上的什么位置？请画出图形．
（2）针对第（1）问的所有情况，找出∠1、∠2与∠B之间的数量关系．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）当点A沿着直线l向左移动时，如图，①在△ABC的内部，②当AB=AC时，在BC边上；③在△ABC外部，即BC下方．
（2）根据角平分线的性质与三角形内角和定理，即可表示出∠1、∠2与∠B之间的数量关系．

解答：解：（1）如图，①在△ABC的内部，
②当AB=AC时，在BC边上；
③在△ABC外部，即BC下方．

（2）如图①，∵CD⊥AD，
∴∠CAD=90°-∠ACD=90°-∠1，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAD=2×（90°-∠1）=180°-2∠1，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2，
∴∠B+∠1+∠2+180°-2∠1=180°，
∴∠B=∠1-∠2；
如图②，此时∠BCD=∠2=0°，∠ADC=∠ACB，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠ACD=90°-∠1，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=90°-∠1，
∴∠B=90°-∠BAD=∠1，
∴∠B=∠1；
如图③，∵CD⊥AD，
∴∠CAD=90°-∠ACD=90°-∠1，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAD=2×（90°-∠1）=180°-2∠1，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACB=∠ACD-∠BCD=∠1-∠2，
∴∠B+∠1-∠2+180°-2∠1=180°，
∴∠B=∠1+∠2．

点评：此题考查了角平分线的定义、垂线的定义以及三角形内角和定理．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．