Question

【题目】已知，抛物线y=ax-2amx+am2+2m-5与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)（x1<x2）两点，顶点为P．

（1）当a=1，m=2时，求线段AB的长度；

（2）当a=2，若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式；

（3）若a= ，当2m-5≤x≤2m-2时，y的最大值为2，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）或；（3）或10+2

【解析】

（1）把a=1，m=2代入二次函数解析式得y＝x2﹣4x+3，然后令y=0得到方程x2﹣4x+3=0并求解，即可求得AB的长度；

（2）把a=2代入二次函数解析式，通过配方，可表示出点P的坐标，根据题意建立方程并解出m的值，即可得出二次函数解析式；

（3）结合二次函数的图象和性质分m＞2m﹣2、2m﹣5≤m≤2m﹣2、m＜2m﹣5三种情况求解即可．

解：（1）当a=1，m=2时，y＝x2﹣4x+3，

当y=0时，x2﹣4x+3=0，，

∴AB=3-1=2；

（2）当a=2时，y=2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5=，

∵顶点为P，∴P（m，2m-5），

∴点P在直线 y=2x-5上，

∵点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，

∴当点P在第一象限时，m=2m-5，解得m=5，该抛物线的解析式为：；

当点P在第四象限时，m=-（2m-5），解得m=，

该抛物线的解析式为：；

（3）当a=时，抛物线的解析式为y=（x-m）2+2m﹣5，

分三种情况考虑：

①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，

整理，得：m2﹣14m+39＝0，

解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；

②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，

解得：m＝；

③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，

整理，得：m2﹣20m+60＝0，

解得：m3＝10-2（舍去），m4＝10+2．

综上所述：m的值为或10+2．