Question

【题目】如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上.

（1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AE＝4，∠A＝30°，求图中由BD、BE、弧DE围成阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C，推出DE∥BC，求出∠EDB=∠CBD=∠A，根据∠A+∠OED=90°，求出∠EDB+∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）分别求出扇形DOE和△ODB的面积，即可求出答案．

解：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切

证明：连接OD、DE

∵∠C＝90°

∴∠CBD+∠CDB＝90°

∵∠A＝∠CBD

∴∠A+∠CDB＝90°

∵OD＝OA

∴∠A＝∠ADO

∴∠ADO+∠CDB＝90°

∴∠ODB＝180°﹣90°＝90°

∴OD⊥BD

∵OD为半径

∴BD是⊙O切线

（2）解：∵AE是⊙O直径

∴∠ADE＝90°

∵AE＝4，∠A＝30°

∴DE＝AE＝2，∠AED＝60°

∵OD＝OE

∴△DOE是等边三角形

∴∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝2

∵∠ODB＝90°

∴∠EDB＝30°

∴∠B＝∠DEO﹣∠EDB＝60°﹣30°＝30°

∴OB＝2OD＝4

由勾股定理得：DB＝，

∴阴影部分的面积S＝S△ODB﹣S扇形DOE

＝

＝．