Question

设k是任意实数，讨论关于x的方程|x²-1|=x+k的解的个数．

Answer 1

分析：先根据x的范围去绝对值，（1）当x＞或x＜-1，方程变为x²-x=1+k，要求方程解的个数就是要二次函数y=x²-x与直线y=1+k的交点个数，可求出二次函数y=x²-x的顶点（

1

2

，-

1

4

），且过（0，0），（1，0）两点，则当1+k＞0，原方程无实根；当-

1

4

＜1+k≤0，原方程有两个实根；当1+k=-

1

4

，原方程有一个实根；当1+k＜-

1

4

，原方程无实根．（2）当-1≤x≤1，方程变为x²+x=1-k，和（1）的解法一样求出k的范围．

解答：解：（1）当x＞或x＜-1，方程变为x²-x=1+k，则方程解的个数就是二次函数y=x²-x与直线y=1+k的交点个数，
二次函数y=x²-x的顶点（

1

2

，-

1

4

），且过（0，0），（1，0）两点．
当1+k＞0，即k＞-1，二次函数y=x²-x与直线y=1+k在所在范围无交点，所以原方程无实根；
当-

1

4

＜1+k≤0，即-

5

4

＜k≤-1，二次函数y=x²-x与直线y=1+k在所在范围有两个交点，所以原方程有两个实根；
当1+k=-

1

4

，即k=-

5

4

，二次函数y=x²-x与直线y=1+k在所在范围有一个交点，所以原方程有一个实根；
当1+k＜-

1

4

，即k＜-

5

4

，二次函数y=x²-x与直线y=1+k无交点，所以原方程无实根．

（2）当-1≤x≤1，方程变为x²+x=1-k，则方程解的个数就是二次函数y=x²+x与直线y=1-k的交点个数，
二次函数y=x²+x的顶点（-

1

2

，-

1

4

），且过（0，0），（-1，0）两点．
当1-k＞0，即k＜1，二次函数y=x²+x与直线y=1-k在所在范围无交点，所以原方程无实根；
当-

1

4

＜1-k≤0，即1≤k＜

5

4

，二次函数y=x²+x与直线y=1-k有两个交点，所以原方程有两个实根；
当1-k=-

1

4

，即k=

5

4

，二次函数y=x²+x与直线y=1-k有一个交点，所以原方程有一个实根；
当1-k＜-

1

4

，即k＞

5

4

，二次函数y=x²+x与直线y=1-k没有交点，所以原方程无实根．
所以当k＜-

5

4

或-1＜k＜1或k＞

5

4

时，原方程没有实数根；当k=-

5

4

或k=

5

4

时，原方程只有一个实数根；当-

5

4

＜k≤-1或1≤k＜

5

4

时，原方程有两个实数根．

点评：本题考查了利用函数图象求方程解的方法，把求方程的解的个数转化为两个图象的交点的个数．同时也考查了分类讨论的思想的运用．