题目内容

如图，点P是双曲线 $数学公式$ （x＞0）上动点，在y轴上取点Q，使得以P、Q、O 为顶点的三角形是含有30°角的直角三角形，则符合条件的点Q的坐标是________．

（0，2 $\text{[math]}$ ）、（0，2）、（0， $\text{[math]}$ ）、（0，8）
分析：设P点坐标为（a，b），a＞0，讨论：（1）若∠OQP=90°，①当∠POQ=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得b= $\text{[math]}$ a，而点P在反比例函数图象上，则 $\text{[math]}$ =b，得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，可解得a=2，则b=2 $\text{[math]}$ ，于是可确定Q点坐标；②当∠OPQ=30°，利用同样方法可求Q点坐标；若∠OPQ=90°，作PA⊥y轴于A点，①当∠POQ=30°，根据（1）可得到P点坐标为（2，2 $\text{[math]}$ ），再计算AQ的长，即可得到Q点坐标；②当∠PQO=30°，计算方法与②一样．
解答：设P点坐标为（a，b），a＞0，
（1）若∠OQP=90°，
①当∠POQ=30°，则b= $\text{[math]}$ a，
∵ $\text{[math]}$ =b，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，解得a=2，则b=2 $\text{[math]}$ ，
∴Q点坐标为（0，2 $\text{[math]}$ ），
②当∠OPQ=30°，则a= $\text{[math]}$ b，
∵ $\text{[math]}$ =b，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a=2 $\text{[math]}$ ，则b=2，
∴Q点坐标为（0，2）；
（2）若∠OPQ=90°，
作PA⊥y轴于A点，如图，

①当∠POQ=30°，则b= $\text{[math]}$ a，
∵ $\text{[math]}$ =b，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，解得a=2，则b=2 $\text{[math]}$ ，
∴P点坐标为（2，2 $\text{[math]}$ ），
∵∠QPA=30°，
∴AQ= $\text{[math]}$ AP= $\text{[math]}$ ，
∴OQ=2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴Q点坐标为（0， $\text{[math]}$ ）；
②当∠PQO=30°，则a= $\text{[math]}$ b，
∵ $\text{[math]}$ =b，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a=2 $\text{[math]}$ ，则b=2，
∴P点坐标为（2 $\text{[math]}$ ，2）；
∵∠PQA=30°，
∴AQ= $\text{[math]}$ AP=6，
∴OQ=6+2=8，
∴Q点的坐标为（0，8）．
∴符合条件的点Q的坐标为（0，2 $\text{[math]}$ ）、（0，2）、（0， $\text{[math]}$ ）、（0，8）．
故答案为（0，2 $\text{[math]}$ ）、（0，2）、（0， $\text{[math]}$ ）、（0，8）．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数y= $\text{[math]}$ 图象上的点满足其解析式；利用含30°的直角三角形三边的关系可简化计算；运用分类讨论的思想使解题更加完整．