Question

【题目】如图，平面直角坐标系中直线：分别与x轴，y轴交于点A和点B，过点A的直线与y轴交于点C，．

（1）求直线的解析式；

（2）若D为线段上一点，E为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最小值为3，点E的坐标为（0，4）．

【解析】

（1）在中，求当y=0时，x的值，确定A点坐标，由OC=6确定C点坐标，然后用待定系数法解函数解析式；

（2）过点B作BF⊥AC，结合一次函数与坐标轴交点坐标，利用锐角三角函数求得∠BAO=30°，∠CAO=60°，∠ACO=30°，BF=，然后根据题目中三角形面积关系求得AD的长，在y轴右侧作∠NCO=30°，过点D作DM⊥NC，交y轴于点E，此时最短，根据含30°直角三角形性质求得DM，CM的长，从而使问题得解．

解：（1）在中，求当y=0时，

解得：

∴A（，0）

又∵OC=6

∴C（0，6）

设直线AC的解析式为，将A（，0），C（0，6）代入得

，解得

∴直线AC的解析式为；

（2）过点B作BF⊥AC，

在中，x=0时，y=2

∴B（0，2）

在Rt△AOB中，，

在Rt△AOC中，，

∴∠BAO=30°，∠CAO=60°，∠ACO=30°

∴BF=，DF=2

∵

∴

∴，解得AD==BF

∴此时点D与点F重合，即BD⊥AC

∴CD=AC-AD=，

在y轴右侧作∠NCO=30°，过点D作DM⊥NC，交y轴于点E

此时EM=，

∴此时最短

又∵DM⊥NC，∠ACO=∠NCO=30°，

∴在Rt△CDM中，∠CDM=30°

∴CM=，DM=

又∵在Rt△CEM中，∠ECM=30°

∴，CE=2EM=2

∴OE=OC-CE=4

∴的最小值为3，点E的坐标为（0，4）．