Question

【题目】如图，在菱形中，E为对角线上一点，F是延长线上一点，连接，，，，．

（1）求证：；

（2）若点G为的中点，连接，求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）根据菱形的性质，得到AD=CD，∠ABC=∠ADC=∠ACD=∠CAD=60°，然后根据等式的性质求得∠ADE=∠CDF，从而利用ASA定理判定三角形全等，问题得解；

（2）过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H，根据菱形的性质结合（1）中的结论判定△ABE≌△ADE≌△CDF，利用ASA定理判定△BHG≌△EAG，利用SAS定理判定△ABH≌△ACF，从而得到AH=AF，使问题得解．

解：在菱形ABCD中，∵

∴AD=CD，∠ABC=∠ADC=∠ACD=∠CAD=∠ACB=60°

∴∠DCF=60°

又∵

∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=60°

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF

∴；

（2）过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H

在菱形ABCD中，∠ABE=∠ADE，AB=AD，AE=AE

又由（1）可知△ADE≌△CDF

∴△ABE≌△ADE≌△CDF

∴AE=CF

∵BH∥AC，点G是BE的中点

∴∠H=∠GAE，BG=EG，∠HBG=∠ACB=60°

∴∠ABH=∠ACF=120°

又∵∠AGE=∠HGB

∴△BHG≌△EAG

∴BH=AE=CF，AG=GH

又∵AB=AC

∴△ABH≌△ACF

∴AH=AF=AG+GH=2AG

即．