Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+2a与直线y=x-2b（a、b为常数，且|a|≠|b|）交于点P，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于N，△MNE是以MN为斜边的等腰直角三角形，点P与点E在MN异侧．
（1）当a=2，b=0时，点P的坐标为______，线段PE的长为______；
（2）当四边形PMON的周长为8时，求线段PE的长；
（3）直接写出线段PE的长（用含a或b的代数式表示）______．

Answer 1

解：（1）当a=2，b=0时，
两直线的解析式分别为：y=-x+4与y=x，
联立可得：，
解得：，
则点P的坐标为：（2，2）；
∵△MNE是以MN为斜边的等腰直角三角形，点P与点E在MN异侧，
∴此时点E于点O重合，
则PE=OP==2；
故答案为：（2，2），2；

（2）∵四边形PMON的周长为8，
∴2PM+2PN=8，
∴PM+PN=4，
如图2，延长PM到Q，使MQ=NP，连接EQ，
∵∠MEN=∠MPN=90°，∠MEN+∠ENP+∠MPN+∠PME=360°，
∴∠PNE+∠PME=180°，
∵∠PME+∠QME=180°，
∴∠PNE=∠QME，
∵在△PNE和△MQE中，
，
∴△PNE≌△QME（SAS），
∴PE=QE，∠PEN=∠QEM，
∴∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠PEM+∠PEN=∠MEN=90°，
即△PEQ是等腰直角三角形，
∴PE=PQ=（PM+MQ）=（PM+PN）=2；

（3）如图1，联立直线y=-x+2a与直线y=x-2b可得点P的坐标为；（a+b，a-b），
∴PM=|a-b|，PN=|a+b|，
如图2，延长PM到Q，使MQ=NP，连接EQ，
∵∠MEN=∠MPN=90°，∠MEN+∠ENP+∠MPN+∠PME=360°，
∴∠PNE+∠PME=180°，
∵∠PME+∠QME=180°，
∴∠PNE=∠QME，
∵在△PNE和△MQE中，
，
∴△PNE≌△QME（SAS），
∴PE=QE，∠PEN=∠QEM，
∴∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠PEM+∠PEN=∠MEN=90°，
即△PEQ是等腰直角三角形，
∴PE=PQ=（PM+MQ）=（PM+PN）=（|a+b|+|a-b|）．
故答案为：（|a+b|+|a-b|）．
分析：（1）由a=2，b=0，可求得两个一次函数的解析式，然后联立，即可求得点P的坐标；又由△MNE是以MN为斜边的等腰直角三角形，点P与点E在MN异侧，可得此时点E于点O重合，即可求得线段PE的长；
（2）由四边形PMON的周长为8，可得PM+PN=4，然后延长PM到Q，使MQ=NP，连接EQ，易证得△PNE≌△QME，则可得△PEQ是等腰直角三角形，即可得PE=PQ=（PM+MQ）=（PM+PN）；
（3）由（2）可得PE=PQ=（PM+MQ）=（PM+PN）；又联立直线y=-x+2a与直线y=x-2b，可求得点P的坐标为（a+b，a-b），则可得PM=|a-b|，PN=|a+b|，继而求得答案．
点评：此题考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．