Question

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D是AC上任意一点，连结AD并延长交BC的延长线于点P．

(1)求证：AB²＝AD·AP；

(2)过点C作CE∥BA交AP于点E，请你添加一个适当的条件(不要添加辅助线)，使CE与⊙O相切；

(3)在(2)的结论下，若AD＝，DP＝，求点E到直线BC的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：连结BD 　　∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠2．∵∠1＝∠2， 　　∴∠ABC＝∠1， 　　又∵∠BAD＝∠PAB，∴△BAD∽△PAB． 　　∴，∴AB2＝AD·AP; 　　(2) 如图所示，添加的条件是： 　　BC＝AC或∠B＝60°∠ACE＝∠B等; 　　(3)∵AD＝，DP＝， 　　∴AP＝2． 　　由(1)，得AB2＝AD·AP，得AB＝2， 　　∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝2 　　∵PDA、PCB为⊙O的割线，∴PD·PA＝PC·PB， 　　∴PC＝2． 　　∵CE∥BA，∴CE∶BA＝PC∶PB，，CE＝1． 　　过点E作EF⊥PC于F，在Rt△ECF中，∵∠ECF＝60° 　　∴EF＝．