Question

如图①，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，CD=4，另有一直角三角形EFG，∠EFG=90°，点G与点D重合，点E与点A重合，点F在AB上，让△EFG的边EF在AB上，点G在DC上，以每秒1个单位的速度沿着AB方向向右运动，如图②，点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒。
（1）在上述运动过程中，请分别写出当四边形FBCG为正方形和四边形AEGD为平行四边形时对应时刻t的值或范围；
（2）以点A为原点，以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴，建立如图③所示的坐标系，求过A，D，C三点的抛物线的解析式；
（3）探究：延长EG交（2）中的抛物线于点Q，是否存在这样的时刻t使得△ABQ的面积与梯形ABCD的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）当时，四边形为正方形，
当时，四边形AEGD为平行四边形；
（2）点D、C的坐标分别是（），（），
∵抛物线经过原点（0，0），
∴设抛物线的解析式为，
将D、C两点坐标代入得，解得
∴抛物线的解析式为；
（3）∵点Q在抛物线上，
∴点
过点Q作轴于点M，又B（5，0）
则

又
令
∵EG的延长线与抛物线交于x轴的上方
∴，解得
当时，，
∵，
∴
∴（秒），
即存在这样的时刻t，当秒时，的面积与梯形ABCD的面积相等。