Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．

（1）求证：AO是△CAB的角平分线；

（2）若tan∠D=，AE=2，求AC的长．

（3）在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）．

【解析】

（1）连接OF，可得OF⊥AB，由∠ACB＝90°，OC＝OF，可得出结论；

（2）连接CE，先求证∠ACE＝∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以，结合tan∠D＝＝，即可得到结论；

（3）连接CF交AD于点M，由（2）可知，AC2＝AEAD，先求出AE，AC的长，则AO可求出，证△CMO∽△ACO，可得OC2＝OMOA，求出OM，CM，结合CF＝2CM，即可求解．

（1）证明：连接OF．

∵AB与⊙O相切于点F，∴OF⊥AB．

∵∠ACB=90°，OC=OF，∴∠OAF=∠OAC，

即AO是△ABC的角平分线；

（2）如图2，连接CE，

∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD=90°，∴∠ECO+∠OCD=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ECO=90°，∴∠ACE=∠OCD．

∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ACE=∠ODC．

∵∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴．

∵tan∠D=，∴＝，∴＝；∵AE=2∴AC=4

（3）由（2）可知：AE=2，AC=4，∴AO=AE+OE=2+3=5，

如图3，连接CF交AD于点G．

∵AC，AF是⊙O的切线，∴AC=AF，∠CAO=∠OAF，∴CF⊥AO，∴∠ACO=∠CGO=90°．

∵∠COG=∠AOC，∴△CGO∽△ACO，∴，∴OC2=OGOA，∴OG=，∴CG==，∴CF=2CG=．