Question

如图，二次函数y=x²-5x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，有一个动点E从点B出发以每秒一个单位向点A运动，过E 作y轴的平行线，交△ABC的边BC或AC于点F，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S，E点运动时间为t秒．
（1）求顶点C的坐标和直线AC的解析式；
（2）求当点F在AC边上，G在BC边上时t的值；
（3）求动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系．

Answer 1

分析：（1）把y=x²-5x+4化成顶点式，求出顶点C的坐标，y=x²-5x+4化成（x-1）（x-4），求出A、B的坐标，设AC直线为y=kx+b，把A、C的坐标代入就能求出直线AC的解析式；
（2）设直线BC的解析式是y=ax+c，把B、C的坐标代入就能求出直线BC，点E坐标为（4-t，0），点F坐标为（4-t，

3

2

t-

9

2

），求出EF=

9

2

-

3

2

t，FG=2t-3，根据EF=FG，即可求出t的值；
（3）可分以下几种情况：①点F在BC上时，如图1重叠部分是△BEF₂，此时0＜t≤

3

2

时，点F坐标为（4-t，-

3

2

t），根据三角形的面积公式即可求出；②I如图2，EB≤EH时重叠部分是直角梯形EFKB，此时

3

2

＜t≤

9

5

，根据三角形的面积公式即可求出；II如图3，EB＞EH，点G在BC下方时，重叠部分是五边形EFKMH，此时

9

5

＜t＜

15

7

，EF=

9

2

-

3

2

t，因为S=S_{正方形EFGH}-S_△KMG，根据三角形的面积公式即可求出；Ⅲ．如图4，点G在BC上或BC上方时，重叠部分是正方形EFGH，此时

15

7

≤t＜3，
根据正方形的面积公式求出即可．

解答：（1）解：

∵y=x²-5x+4=(x-

5

2

)2-

9

4

，
顶点C的坐标为（

5

2

，-

9

4

），
∵y=x²-5x+4=（x-1）（x-4），
∴点A（1，0），B（4，0），
设AC直线为y=kx+b，得

0=k+b - 9 4 = 5 2 k+b

，
解得：k=-

3

2

，b=

3

2

，
∴y=-

3

2

x+

3

2

，
答：顶点C的坐标为（

5

2

，-

9

4

），直线AC的解析式是y=-

3

2

x+

3

2

．

（2）解：设直线BC的解析式是y=ax+c，
把B（4，0），C（

5

2

，-

9

4

）代入得：0=4a+c且-

9

4

=

5

2

a+c，
解得：a=

3

2

，c=-6，
直线BC的解析式为y=

3

2

x-6，
当F在AC边上，G在BC边上时，
点E坐标为（4-t，0），点F坐标为（4-t，

3

2

t-

9

2

），
得EF=

9

2

-

3

2

t，
而EF=FG，
∵抛物线的对称轴和等腰△ABC的对称轴重合，
∴FG=2[

5

2

-(4-t)]=2t-3，

9

2

-

3

2

t=2t-3，
∴

9

2

-

3

2

t=2t-3，
解得t=

15

7

，

答：当点F在AC边上，G在BC边上时t的值是

15

7

．

（3）解：点E坐标为（4-t，0）随着正方形的移动，重叠部分的形状不同，可分以下几种情况：
①点F在BC上时，如图1重叠部分是△BEF，
此时0＜t≤

3

2

时，点F坐标为（4-t，-

3

2

t），
S=

1

2

EF•BE=

1

2

•

3

2

t•t=

3

4

t2，
②点F在AC上时，点F坐标为（4-t，

3

2

t-

9

2

）又可分三种情况：
Ⅰ．如图2，EB≤EH时重叠部分是直角梯形EFKB（设FG与直线BC交于点K），
此时

3

2

＜t≤

9

5

，
∴S=

1

2

(t+2t-3)•(

9

2

-

3

2

t)=-

9

4

t2+9t-

27

4

，
Ⅱ．如图3，EB＞EH，点G在BC下方时，重叠部分是五边形EFKMH（设FG与直线BC交于点K，GH与直线BC交于点M），
此时

9

5

＜t＜

15

7

，EF=

9

2

-

3

2

t，
点H坐标为（

17

2

-

5

2

t，0），点M坐标为（

17

2

-

5

2

t，

27

4

-

15

4

t），
HM=

15

4

t-

27

4

，
GM=

45

4

-

21

4

t，
KG=

15

2

-

7

2

t，
∴S=S_EFGH-S_△KMG=（

3

2

t-

9

2

）²-

1

2

(

15

2

-

7

2

t)(

45

4

-

21

4

t)，
=-

111

16

t2+

207

8

t-

351

16

，
Ⅲ．如图4，点G在BC上或BC上方时，重叠部分是正方形EFGH，此时

15

7

≤t＜3，
∴S=(

3

2

t-

9

2

)2=

9

4

t²-

27

2

t+

81

4

，
答：动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系S=

3

4

t²（0＜t≤

3

2

）或S=-

9

4

t²+9t-

27

4

（

3

2

＜t≤

9

5

）或S=-

111

16

t²+

207

8

t-

351

16

（

9

5

＜t＜

15

7

）或S=

9

4

t²-

27

2

t+

81

4

（

15

7

≤t＜3）．

点评：本题主要考查对二次函数与X轴的交点，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，三角形的面积，用十字相乘法分解因式，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．