题目内容
【题目】数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
（1）探究
的几何意义：如图①，在直角坐标系中，设点M的坐标为(x，y)，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为(x，0)，Q点坐标为(0，y)，即OP＝|x|，OQ＝|y|，在△OPM中，PM＝OQ＝|y|，则MO＝
，因此，的几何意义可以理解为点M(x，y)与点O(0，0)之间的距离OM．
①
的几何意义可以理解为点N1 （填写坐标）与点O(0，0)之间的距离N1O；
②点N2(5，﹣1)与点O(0，0)之间的距离ON2为 ．
（2）探究
的几何意义：如图②，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（1）可知，A′O＝，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB＝A′O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离．
（3）探究
的几何意义：请仿照探究二（2）的方法，在图③中画出图形，那么的几何意义可以理解为点C （填写坐标）与点D(x，y)之间的距离．
（4）拓展应用：①
的几何意义可以理解为：点A(x，y)与点E(1，﹣4)的距离与点A(x，y)与点F （填写坐标）的距离之和．
②的最小值为 （直接写出结果）
【答案】（1）①(﹣2，3)或(3，﹣2)；②
；（3）见解析， (﹣2，3)；（4）①(﹣2，﹣3)；②
【解析】
(1)①构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案；
②由两点间的距离即可得出答案；
(3)设点D′的坐标为
，由两点间的距离和平移的性质即可得出结论；
(4)①由(3)即可得出答案；
②根据三角形的三边关系即可求出答案．
(1)①
的几何意义可以理解为点N1 
或
与点O
之间的距离N1O，
故答案为：或；
②点N2
与点O之间的距离ON2为：
，
故答案为：；
(3)设点D′的坐标为，如图③所示：
由探究(2)可知，D′O=
，
将线段D′O先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到线段CD，
此时，D的坐标为
，点C的坐标为，
∵CD=D'O，
∴CD=，
∴的几何意义为点C到点D之间的距离；
故答案为：；
(4)①由(2)可知： 
的几何意义可以理解为：
点A与点E
的距离与点A与点F
的距离之和，
故答案为：；
②当A位于直线EF外时，
此时点A、E、F三点组成△AEF，
∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，
当点A位于线段EF之间时，此时EF=AF+AE，
∴的最小值为EF的距离，
∴EF=
，
故答案为：．
