Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB=OC．
（1）求点B的坐标；
（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，

EF

EG

=

5

2

？

Answer 1

分析：（1）过点B作BN⊥OC，则四边形ABNO是矩形，BN=AO=8，AB=ON，由勾股定理可求得NB的长；
（2）可证△BON∽△POH，有

BO

PO

=

ON

OH

=

BN

PH

，由题意知OP=10-5t，OH=6-3tPH=8-4t，BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4，从而求得S的表达式，由于OC=10，故0≤t＜2；
（3）分两种情况分析：①当点G在点E上方时，如图2过点B作BN′⊥OC，垂足为N′，先得到四边形BMPC是平行四边形，有PM=BC=4

5

，BM=PC=5t，证得∠OPD=∠ODP，由同角的余角相等得到∠RMP=∠DPH，有EM=EP，由于点F为PM的中点，则EF⊥PM，得到∠EMF=∠PMR，∠EFM=∠PRM=90°，有△MEF∽△MPR，有

ME

MP

=

MF

MR

=

EF

PR

，由条件可得ME=5，EF=

5

，根据题意知

EF

EG

=

5

2

，有EG=2，MG=EM-EG=5-2=3，又可证得△MGB∽△N′BO，有

MG

N′B

=

MB

N′O

，得BM=

9

4

，从而求得t的值；②当点G在点E下方时，如图3，同理可得MG=ME+EG=5+2=7，有BM=5t=

21

4

，可得t的值．

解答：解：（1）如图1，过点B作BN⊥OC，垂足为N
由题意知OB=OC=10，BN=OA=8
∴ON=

OB2-BN2

=6，
∴B（6，8）

（2）如图1，∵∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°
∴△BON∽△POH，
∴

BO

PO

=

ON

OH

=

BN

PH

∵PC=5t，
∴OP=10-5t
∴OH=6-3t，PH=8-4t
∴BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4，
∴S=

1

2

（3t+4）（8-4t）=-6t²+4t+16（0≤t＜2）

（3）①当点G在点E上方时，
如图2过点B作BN′⊥OC，垂足为N′
BN′=8，CN′=4
∴CB=

BN2+CN2

=4

5

∵BM∥PC，BC∥PM
∴四边形BMPC是平行四边形
∴PM=BC=4

5

，BM=PC=5t
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC
∵PM∥CB，
∴∠OPD=∠OCB，∠ODP=∠OBC
∴∠OPD=∠ODP
∵∠OPD+∠RMP=90°，∠ODP+∠DPH=90°
∴∠RMP=∠DPH
∴EM=EP
∵点F为PM的中点，
∴EF⊥PM
∵∠EFM=∠PRM，∠EMF=∠PMR，
∴△MEF∽△MPR，
∴

ME

MP

=

MF

MR

=

EF

PR

，其中MF=

PM

2

=2

5

MR=8，PR=

PM2-MR2

=4
∴ME=5，EF=

5

∵

EF

EG

=

5

2

，
∴EG=2
∴MG=EM-EG=5-2=3
∵AB∥OC
∴∠MBG=∠BON′
又∵∠GMB=∠ON′B=90°
∴△MGB∽△N′BO
∴

MG

N′B

=

MB

N′O

，
∴BM=

9

4

∴5t=

9

4

∴t=

9

20

②当点G在点E下方时，如图3，同理可得MG=ME+EG=5+2=7
∴BM=5t=

21

4

，
∴t=

21

20

∴当t=

9

20

或t=

21

20

时，

EF

EG

=

5

2

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理以及平行四边形的性质，平面直角坐标每等知识点，要注意（3）中，要分类讨论，从而得出运动时间t的值．不要忽略掉任何一种情况．