题目内容
如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发，沿CD方向向D点运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。
（1）求AD的长；
（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究在BC边上是否存在点M，使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M并求出BM的长，若不存在，请说明理由。
（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究在BC边上是否存在点M，使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M并求出BM的长，若不存在，请说明理由。
解：（1）过点B作AE∥BC交CD于E，∠AED=∠C=∠D=60°，
∴△ADE为等边三角形，∴AD=DE=9-4=5；
（2）过点Q作QF⊥CD于M点，设DQ=CP=x，∠D=60°，则PD=9-x，QF=
x，
S△PDQ=
PD×h=-
（x-
）2+
，
又∵0≤x≤5，∴当x=
时，S△PDQ最大值为
；
（3）假设存在满足条件的点M，
则PD=DQ，9-x=x，x=
，P为CD的中点，连结QP，∠D=60°，则△PDQ为等边三角形，
过点Q作QM∥DC交BC于M，点M即为所求。
连结MP，则CP=PD=DQ=CM，∠D=60°，则△CPM为等边三角形，
∴∠D=∠3=60°，
∴MP∥QD，
∴四边形PDQM为平行四边形，
又PD=PQ
∴四边形PDQM为菱形，
BM=BC-MC=5-
。
∴△ADE为等边三角形，∴AD=DE=9-4=5；
（2）过点Q作QF⊥CD于M点，设DQ=CP=x，∠D=60°，则PD=9-x，QF=
x，S△PDQ=
PD×h=-（x-）2+，又∵0≤x≤5，∴当x=
时，S△PDQ最大值为；（3）假设存在满足条件的点M，
则PD=DQ，9-x=x，x=
，P为CD的中点，连结QP，∠D=60°，则△PDQ为等边三角形，过点Q作QM∥DC交BC于M，点M即为所求。
连结MP，则CP=PD=DQ=CM，∠D=60°，则△CPM为等边三角形，
∴∠D=∠3=60°，
∴MP∥QD，
∴四边形PDQM为平行四边形，
又PD=PQ
∴四边形PDQM为菱形，
BM=BC-MC=5-
。
练习册系列答案
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