Question

已知

a+b-c

c

=

a-b+c

b

=

-a+b+c

a

，求

(a+b)(a+c)(b+c)

abc

的值．

Answer 1

分析：根据比例的等比性质解决分式问题．注意分两种情况：a+b+c≠0；a+b+c=0进行讨论．本题还可以设参数法解答．

解答：解：解法1：（1）若a+b+c≠0，由等比定理有
若

a+b-c

c

=

a-b+c

b

=

-a+b+c

a

=

a+b-c+a-b+c-a+b+c

a+b+c

=1，
所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，
于是有

(a+b)(a+c)(b+c)

abc

=

2c•2b•2a

abc

=8．
（2）若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
于是有

(a+b)(a+c)(b+c)

abc

=

(-c)(-a)(-b)

abc

=-1．
解法2：若

a+b-c

c

=

a-b+c

b

=

-a+b+c

a

=k，
则a+b=（k+1）c，①
a+c=（k+1）b，②
b+c=（k+1）a．③
①+②+③有2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c），
所以（a+b+c）（k-1）=0，
故有k=1或a+b+c=0．
当k=1时，

(a+b)(a+c)(b+c)

abc

=

2c•2b•2a

abc

=8．
当a+b+c=0时，

(a+b)(a+c)(b+c)

abc

=

(-c)(-a)(-b)

abc

=-1．

点评：本题考查了等比性质：若

a

b

=

c

d

=…=

m

n

=k，则

a+c+…+m

b+d+…+n

=k，（b+d+…+n≠0）．特别注意条件的限制（分母是否为0）．比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．