题目内容
用两个全等的等边△ABC和△ADC，在平面上拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形重合，使三角尺有两边分别在AB、AC上，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转
（1）如图1，当三角尺的两边与BC、CD分别相交于点E、F时，观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论．
（2）如图2，当三角尺的两边与BC、CD的延长线分别交于E、F时，你在（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（1）BE=CF，
证明：
∵△ADC、△ABC是等边三角形，
∴AD=AC，∠D=∠ACB=60°，∠DAC=60°，
∵∠FAE=60°，
∴∠EAC+∠CAF=∠CAF+∠DAF，
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中
，
∴△ACE≌△ADF，
∴CE=DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∴BE=CF．
（2）解：结论BE=CF仍成立，
理由是：连接AC，
由（1）知：AD=AC，∠FAD=∠CAE，
∵等边三角形ABC和等边三角形ACD，
∴∠ADC=∠ACB=60°，
∴∠ADF=∠ACE=120°，
在△ACE和△ADF中
，
∴△ACE≌△ADF，
∴DF=CE，
∵CD=BC，
∴BE=CF，
即结论BE=CF仍成立．
分析：（1）根据等边三角形性质推出AD=AC，∠D=∠ACB=60°，∠DAC=60°，求出∠CAE=∠DAF，证△ACE≌△ADF即可；
（2）连接AC，求出∠ADF=∠ACE=120°，证△ACE≌△ADF，推出DF=CE，根据BC=CD即可推出答案．
点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生熟练地运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但有一定的难度．
证明：
∵△ADC、△ABC是等边三角形，
∴AD=AC，∠D=∠ACB=60°，∠DAC=60°，
∵∠FAE=60°，
∴∠EAC+∠CAF=∠CAF+∠DAF，
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中
，∴△ACE≌△ADF，
∴CE=DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∴BE=CF．
（2）解：结论BE=CF仍成立，
理由是：连接AC，
由（1）知：AD=AC，∠FAD=∠CAE，
∵等边三角形ABC和等边三角形ACD，
∴∠ADC=∠ACB=60°，
∴∠ADF=∠ACE=120°，
在△ACE和△ADF中
，∴△ACE≌△ADF，
∴DF=CE，
∵CD=BC，
∴BE=CF，
即结论BE=CF仍成立．
分析：（1）根据等边三角形性质推出AD=AC，∠D=∠ACB=60°，∠DAC=60°，求出∠CAE=∠DAF，证△ACE≌△ADF即可；
（2）连接AC，求出∠ADF=∠ACE=120°，证△ACE≌△ADF，推出DF=CE，根据BC=CD即可推出答案．
点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生熟练地运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但有一定的难度．
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