Question

5．已知，如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=3，点E是AB的中点，点P是CD上的动点，点B关于直线PE的对称点为M，问：当CP的长为3或$\sqrt{7}$时，点M恰好落在△DEP的边上．

Answer 1

分析 分两种情形讨论即可①如图1中，当点M在DE上时，②如图2中，当点M在DP上时．

解答 解：①如图1中，当点M在DE上时，

∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，AB=CD=8，
∴∠BEP=∠EPD，
∵∠BEP=∠DEP，
∴∠DEP=∠DPE，
∴DE=DP，
在Rt△ADE中，∵AD=3，AE=4，
∴DP=DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴PC=CD-DP=8-5=3．

②如图2中，当点M在DP上时，

∵AB∥CD，
∴∠BEP=∠EPD，
∵∠EPD=∠EPB，
∴∠BEP=∠BPE，
∴EB=PB=4，
在Rt△PBC中，∵PB=4，BC=3，
∴PC=$\sqrt{P{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
综上所述，PC的长为3或$\sqrt{7}$．
故答案为3或$\sqrt{7}$．

点评 本题考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是等腰三角形的判定和性质的应用，属于中考常考题型．