题目内容

如图所示，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，D是AB上的一点，且DE⊥BC，垂足为E，直角边ED交直角边CA的延长线于点F，则当AD=时，△ADF与△BDE的面积之和最小，最小值为．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：设AD=x，则DF= $\text{[math]}$ x，∴BD=1-x，DE= $\text{[math]}$ （1-x），∴设y=S_△ADF+S_△DEB= $\text{[math]}$ AD•DF•sin45°+ $\text{[math]}$ BD•DE•sin45°，由此可以建立关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出当AD= $\text{[math]}$ AB时，△ADF与△DEB的面积之和最小，最小值为 $\text{[math]}$ ．
解答：设AD=x，则DF= $\text{[math]}$ x，
∴BD=1-x，DE= $\text{[math]}$ （1-x）．
∴设y=S_△ADF+S_△DEB
= $\text{[math]}$ AD•DF•sin45°+ $\text{[math]}$ BD•DE•sin45°
= $\text{[math]}$ x• $\text{[math]}$ x• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1-x）• $\text{[math]}$ （1-x）• $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
当x= $\text{[math]}$ 时，y取最小值 $\text{[math]}$ ．
∴当AD= $\text{[math]}$ AB时，△ADF与△DEB的面积之和最小，最小值为 $\text{[math]}$ ．
点评：求几何图形面积最值的问题，一般可以转化为求二次函数的最值问题．