Question

（2012•洛阳二模）如图，在△ABC中，∠B=90°AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/秒的速度从A点出发，沿AC向C移动，同时，动点Q以1cm/秒的速度从C点出发，沿CB向B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动，设移动时间为t秒．
（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；
     ②求△CPQ的面积S（cm²）关于时间t（秒）的函数关系式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值．

Answer 1

分析：（1）①由勾股定理求出AC=10cm，求出AP=5，CQ=2.5，过P作PD⊥BC于D，根据三角形的中位线求出PD=

1

2

AB=3cm，根据三角形面积公式求出即可；②过Q作QE⊥AC于E，求出AP=2t，CP=10-2t，根据△CEQ∽△CBA求出QE=

3

5

t，据三角形面积公式求出即可；
（2）分为三种情况：①当PC=CQ时得出10-2t=t，②当PQ=CQ时，根据cosC=

BC

AC

=

CE

CQ

得出

8

10

=

5-t

t

，③当PQ=CP时，根据cosC=

BC

AC

=

CD

CP

得出

8

10

=

1 2 t

10-2t

，求出即可．

解答：解：（1）①在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：AC=10cm，
由题意得：AP=2×2.5=5，CQ=2.5，
过P作PD⊥BC于D，
∴PD∥AB，
∵AP=5cm，AC=10cm，
∴P为AC中点，
∴D为BC中点，
∴PD=

1

2

AB=

1

2

×6cm=3cm，
∴S_△CPQ=

1

2

CQ•PD=

1

2

×2.5cm×3cm=3.75cm²；
②过Q作QE⊥AC于E，
由题意得：AP=2t，CP=10-2t，
则∠CEQ=∠B=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CEQ∽△CBA，
∴

QE

QC

=

AB

AC

=

3

5

，
∴QE=

3

5

t，
∴S_△CPQ=

1

2

•CP•QE=

1

2

（10-2t）•

3

5

t，
S=-

3

5

t²+3t（0＜t＜5）；
（2）分为三种情况：①当PC=CQ时，即10-2t=t，
t=

10

3

，
当t=

10

3

秒，△CPQ是等腰三角形．
②当PQ=CQ时，
∵QE⊥CP，
∴PE=CE=

1

2

•（10-2t）=5-t，
∵cosC=

BC

AC

=

CE

CQ

，
∴

8

10

=

5-t

t

，
t=

25

9

，
∴当t=

25

9

秒时，△CPQ是等腰三角形，
③当PQ=CP时，
∵PD⊥BC，
∴CD=QD=

1

2

CQ=

1

2

t，
∵cosC=

BC

AC

=

CD

CP

，
∴

8

10

=

1 2 t

10-2t

，
t=

80

21

∴当t=

80

21

秒时，△CPQ是等腰三角形，
即当△CPQ为等腰三角形时，t的值是

10

3

秒或

25

9

秒或

80

21

秒．

点评：本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算和推理的能力，用了分类讨论思想．