Question

【题目】在四边形中，，对角线交于点平分，延长至点，使，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OE=．

【解析】

（1）由一组对边平行且相等证明四边形ABCD是平行四边形，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出∠ABD=∠ADB，从而得到AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

（2）先证明△ABD是等边三角形，得到∠ADB=60°，根据菱形的性质以及DE=BO，证明DE=DO，从而得到∠E=∠EOD=30°，OE=OA，再利用含30°直角三角形的性质以及勾股定理即可解答．

（1）证明：∵，

∴四边形ABCD是平行四边形，∠ADB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∴平行四边形ABCD是菱形．

（2）∵AB=AD，∠DAB=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠ADB=60°，

∴∠E+∠EOD=60°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DAC=30°，OD=OB，AC⊥BD，

∵DE=BO，

∴DE=DO，

∴∠E=∠EOD=30°，

∴∠E=∠DAC，

∴OE=OA，

在Rt△AOD中，AD=4，∠DAO=30°，

∴DO=2，AO=，

∴OE=．