Question

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=5x-5与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点B关于原点O对称，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=3且过点A和C．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（3）若抛物线y=ax²+bx+c的顶点为D，且在x轴上存在点P使得△DAP的面积为6，直接写出满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A和点B的坐标，根据中心对称的性质求出点C的坐标；
（2）利用待定系数法求出抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（3）利用二次函数的性质求出点D的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）当x=0时，y=-5，
当y=0时，5x-5=0，
解得，x=1，
则点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，-5），
则点C的坐标（0，5）；
（2）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=5}\\{-\frac{b}{2a}=3}\end{array}\right.$，
解得，a=1，b=-6，c=5，
则抛物线的解析式为y=x²-6x+5；
（3）设点P的坐标为（x，0），
y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
则点D的坐标为（3，-4），
由题意得，$\frac{1}{2}$×|x-1|×4=6，
解得，x=-2或4，
则点P的坐标为（-2，0）或（4，0）．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、二次函数的性质是解题的关键．