Question

【题目】我们把具有一条公共边的两个三角形称为“友邻三角形”，两个三角形的公共边所对的顶点称为“友邻顶点”．

（1）如图1，写出图中所有的“友邻三角形”；

（2）如图2，与相交于点，记的面积为，的面积为，求证：；

（3）从图3中找出两对“友邻三角形”，探索是否存在（2）中类似的结论，并直接写出结果；

（4）如图4，，，若的面积为21，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）与，与，与；（2）见解析；（3）存在，与，或与，；（4）6

【解析】

（1）根据“友邻三角形”的定义，即可得到答案；

（2）作，，易得COE~DOF，得，结合三角形的面积公式，即可得到结论；

（3）过点C作CN⊥AE于点E，过点B作BM⊥AE的延长线于点M，则CN∥BM，易得：BME~CNE，得，结合三角形的面积公式，，同理得；

（4）作交于，可得，从而得，，进而即可求解．

（1）根据“友邻三角形”的定义，可得图1中的“友邻三角形”为：与，与，与；

（2）作，，则CE∥DF，

∴COE~DOF，

∴，

∵；

（3）①与，，②与，，理由如下：

过点C作CN⊥AE于点E，过点B作BM⊥AE的延长线于点M，则CN∥BM，

∴BME~CNE，

∴，

∴．

同理：；

（4）过点D作，

∴CG：CE=CD：BC=1：3，

∴设CG=x，则CE=3x，EG=2x，

∵，

∴AE=1.5x，

∴，即：，

∵，的面积为21，

∴，

∵，

∴=×14=6．