Question

【题目】在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．

（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；

（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；

（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．

Answer 1

【答案】（1）AD＝；（2）y＝（0＜x＜4）；（3）﹣或+

【解析】

（1）根据等角的余角相等，证明∠ACD＝∠EDB＝∠B，推出tan∠ACD＝tan∠B，得到即可求出AD；

（2）求出sin∠B=，cos∠B=，表达出EH，BH，DH，证明△ACD∽△HDE，利用相似比即可解答；

（3）分两种情形：①如图31中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N．利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图32中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．

解：（1）∵ED＝EB，

∴∠EDB＝∠B，

∵CD⊥DE，

∴∠CDE＝∠A＝90°，

∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°，

∴∠ACD＝∠EDB＝∠B，

∴tan∠ACD＝tan∠B，

∴，

∴，

∴AD＝．

（2）如图1中，作EH⊥BD于H．

在Rt△ACB中，

∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，

∴BC＝，

∴sin∠B=，cos∠B=

∵BE＝y，

∴EH＝BEsin∠B =y，BH＝BEcos∠B =y，

∴DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣y，

∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，

∴△ACD∽△HDE，

∴，

∴，

∴y＝（0＜x＜4）．

（3）①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N

∵AC＝AB＝3，AE⊥CB′，

∴CE＝E B′=CB′＝，

∴AE＝，

∵∠ACE=∠KCA，∠AEC=∠KAC=90°，

∴△ACE∽△KCA，

∴，即

∴AK＝，CK＝，

∴BK＝AB﹣AK＝4﹣，

∵∠DCK＝∠DCB，DM⊥CM，DN⊥CB，

∴DM＝DN，

∴，

∴BD＝BK＝﹣，

∴AD＝AB﹣BD＝4﹣（﹣）＝+．

②如图3﹣2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD＝BK＝＝+，

∴AD＝AB﹣BD＝﹣．