Question

【题目】如图，在中，，是的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与交于点F，延长BA到点G，使得，连接FG.

备用图

（1）求证：FG是的切线；

（2）若的半径为4.

①当，求AD的长度；

②当是直角三角形时，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，②当时，；当时，.

【解析】

（1）连接AF，由圆周角定理的推论可知，根据等腰三角形的性质及圆周角定理的推论可证，，从而可得，然后根据切线的判定方法解答即可；

（2）①连接CF，根据“SSS”证明，由全等三角形及等腰三角形的性质可得，进而可证，由平行线分线段成比例定理可证，可求，然后由相交弦定理求解即可；

②分两种情况求解即可，（i）当时，（ii）当时.

（1）连接AF，

∵BF为的直径，

∴，，

∴，

∵，∴，

∵，，

∴，

∴，即.

又∵OF为半径，

∴FG是的切线.

（2）①连接CF，

则，

∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.

∵半径是4，，∴，，

∴，即，

又由相交弦定理可得：，

∴，即，

∴（舍负）；

（2）②∵为直角三角形，不可能等于.

∴（i）当时，则，

由于，∴，，

∴，

∴，，

∴；

（ii）当时，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，

延长AO交BC于点M，

∵AB=AC，

∴弧AB=弧AC，

∴，

∴，

∴，

∴.