Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为1，动点E、F分别在边AB、对角线BD上（点E与点A、B都不重合）且AE=DF
（1）设DF=x，CF²=y，求：y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）求证：FC=FE；
（3）是否存在以线段AE、DF、CF的长为边的直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知得出FG=DG=x，GC=1-x，在Rt△FCG中，利用CF²=CG²+FG²得出即可；
（2）延长GF交AB于H，易证矩形AHGD，再利用SAS证明Rt△FCG≌Rt△EFH即可得出答案；
（3）分别讨论①若CF为斜边以及②若AE为斜边得出答案即可．
解答：解：（1）过F作FG⊥DC于G，
则∠FGD=∠FGC=90°  
∵正方形ABCD中，BD是对角线，
∴∠BDG=45°，
∵∠FGD=90°，DF=x，
∴FG=DG=x，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴GC=1-x，
在Rt△FCG中，
CF²=CG²+FG²=（1-x）²+（x）²=x²-x+1，
∴y=x²-x+1（0＜x＜）；
     
（2）延长GF交AB于H，
∵∠A=∠ADG=∠DGH=90°，
∴矩形AHGD，
∴AH=DG=x，
∵AE=x，
∴HE=x，
∴GF=HE，
CG=FH，
∵∠CGF=∠FHE=90°，
∴Rt△FCG≌Rt△EFH（SAS），
∴FC=FE，

（3）∵AE=DF，
∴DF＜AE，
∴若存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形，则DF不可能为斜边，
①若CF为斜边，则x²+（x）²=x²-x+12x²+x-1=0，
x=，x=（负值舍去），
②若AE为斜边，则x²+x²-x+1=（x）²，解得：x=，
∵0＜x＜，
∴舍去
综上所述当x=时，存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定以及勾股定理应用等知识，根据已知得出熟练利用勾股定理得出是解题关键．