题目内容
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是9，抛物线与x轴交于O
、M两点，OM=6；矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上．
（1）P点的坐标________、M点的坐标________；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设矩形ABCD的周长为l，C（x，0），求l与x的关系式，并求l的最大值．
解：（1）∵抛物线的顶点P到x轴的距离是9，
∴点P的纵坐标为9，
∵抛物线过点O与M，OM=6，
∴此抛物线的对称轴为x=3，
∴P（3，9），M（6，0）；
故答案为：（3，9），（6，0）；
（2）设此抛物线的解析式为y=a（x-3）2+9，
∵此函数过原点，
∴a（0-3）2+9=0，
∴a=-1，
∴此抛物线的解析式为：y=-（x-3）2+9；
（3）∵C（x，0），
∴点D的坐标为（x，y），
∴y=-x2+6x，
∴点D的坐标为（x，-x2+6x），
点B的坐标为：（6-x，0）
∴BC=6-2x，CD=-x2+6x，
∴l=2（6-2x）+2（-x2+6x）=-2x2+8x+12=-2（x-2）2+20，
∴l与x的关系式为：l=-2（x-2）2+20，
当x=2时，最大值为20．
分析：（1）由抛物线的顶点P到x轴的距离是9与抛物线过点O与M，OM=6，即可求得点P与M的坐标；
（2）设此抛物线的解析式为y=a（x-3）2+9，又由此函数过原点，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（3）由点C的坐标，根据抛物线对称性与矩形的性质，即可求得点D与B的坐标，则可求得CD与BC的长，则问题得解．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，抛物线的对称性等知识．此题综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．
∴点P的纵坐标为9，
∵抛物线过点O与M，OM=6，
∴此抛物线的对称轴为x=3，
∴P（3，9），M（6，0）；
故答案为：（3，9），（6，0）；
（2）设此抛物线的解析式为y=a（x-3）2+9，
∵此函数过原点，
∴a（0-3）2+9=0，
∴a=-1，
∴此抛物线的解析式为：y=-（x-3）2+9；
（3）∵C（x，0），
∴点D的坐标为（x，y），
∴y=-x2+6x，
∴点D的坐标为（x，-x2+6x），
点B的坐标为：（6-x，0）
∴BC=6-2x，CD=-x2+6x，
∴l=2（6-2x）+2（-x2+6x）=-2x2+8x+12=-2（x-2）2+20，
∴l与x的关系式为：l=-2（x-2）2+20，
当x=2时，最大值为20．
分析：（1）由抛物线的顶点P到x轴的距离是9与抛物线过点O与M，OM=6，即可求得点P与M的坐标；
（2）设此抛物线的解析式为y=a（x-3）2+9，又由此函数过原点，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（3）由点C的坐标，根据抛物线对称性与矩形的性质，即可求得点D与B的坐标，则可求得CD与BC的长，则问题得解．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，抛物线的对称性等知识．此题综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C．如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式．
5、如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-2，0）和（2，0）．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
如图所示，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次从点P跳到关于点A的对称点M处，第二次从点M跳到关于点B的对称点N处，第三次从点N跳到关于点C的对称点处，…如此下去．
如图所示，在平面直角坐标系xoy中，有一组对角线长分别为1，2，3的正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，其对角线OB1、B1B2、B2 B3依次放置在y轴上（相邻顶点重合），依上述排列方式，对角线长为n的第n个正方形的顶点An的坐标为
BE．